Alexander Albon werd op 23 maart 1996 in Londen geboren als zoon van voormalig BTCC-coureur Nigel Albon. Albon heeft een Britse vader en een Thaise moeder. Hij rijdt onder een Thaise-licentie.
Albon begon zijn carrière in de karts. In 2006 won hij het Super 1 Honda National Kadet-kampioenschap en in 2008 de Kartmasters British Grand Prix in in de KF3-klasse. In 2010 won hij de CIK-FIA World Cup en was hij Europees Kampioen in de KF3. In 2011 werd hij achter Nyck de Vries tweede in het WSK Euro Series en in het wereldkampioenschap.
In 2012 maakte hij zijn debuut in de autosport. Hij reed voor EPIC Racing de Formule Renault 2.0 Eurocup en het Formule Renault 2.0 Alps-seizoen. Tot en met 2014 zou Albon uitkomen in deze klasse waarbij hij in zijn laatste jaar voor KRT derde werd in het kampioenschap. In 2015 reed hij een volledig seizoen in het FIA Formule 3-European Championship, hij behaalde de zevende plaats in de eindstand. In 2016 werd hij tweede achter Charles Leclerc in de GP3. Hierna reed Albon twee jaar in de Formule 2 met een derde plek in 2018 als hoogste positie in het kampioenschap.
Voor 2018-2019 zou hij bij Nissan in het Formule E-programma worden opgenomen. Helmut Marko haalde Albon terug in het talentenprogramma van Red Bull, nadat hij in een eerder stadium uit het talentenprogramma was gehaald. Albon maakte op Misano zijn eerste meters in één Formule 1-auto tijdens de filmdag van Scuderia Toro Rosso. De Thaise coureur staat bekend als een uitstekend regenrijder.
Gedurende 2019 mocht Albon instappen bij de hoofdmacht van Red Bull. De Thai verving de tegenvallende Pierre Gasly, die terug werd gezet naar het juniorteam. Ook Albon kon geen grote indruk achterlaten en werd eind 2020 vervangen voor Sergio Pérez.
Albon bleef actief bij Red Bull Racing als test -reservecoureur en ging deelnemen aan de DTM. In 2021 besloot Williams Albon te contracteren. Op dit moment rijdt de Thai ook bij Williams en Logan Sargeant is zijn nieuwe teamgenoot.